コクセタ－群とあみだくじ ー 表現論の拡がり

コクセター群と対称式の基礎から出発し、その応用例として、あみだくじの数え上げをめぐる不思議な現象を紹介する。

コクセター群は、生成元と基本関係式から定義される群である。対称群はコクセター群の中で最も基本的な例であり、n次順列の簡約表示があみだくじで視覚化できることはよく知られている。

本書では「あみだくじの数え上げをすると、対称群や複素一般線型群の既約表現の次元公式が現れる」という不思議な現象を取り上げる。このふたつの次元はシューア・ワイル相互律により密接に関係しており、現在では、あみだくじと対称群および一般線型群の表現との関係は柏原クリスタル（結晶基底）の文脈で理解されている。柏原クリスタルは本来代数的な理論であり、理論の全体像を学べばその背景の深さと広さを実感することになる。そのような理論が美しい形で組合せ論に降臨する様を本書では垣間見ることができる。
本書後半では、ワイル群、複素半単純リー環のBGG 圏、カジュダン・ルスティック多項式、バイナリー多面体群など発展的話題を取り上げ、コクセター群がいかに現代数学で活躍しているかをいくつかの例を通して紹介する。